1. Continuidad
1. Continuidad
Definición: Una función f es continua es el número a, sí y sólo sí:
límx-->af(x)=f(a)
2. Ejemplos
1. Calcular el límite de la función f(x)=x+1 en x=3.límx-->3 x+1 = 4 = f(3)
Por lo que la función sí es continua en x=3.
2. Demostrar que la función f(x)=(x² -2x -3)/(x-3) no es continua en x=3.
Por un lado f(3) no esta definido, es decir, el Domino de la función f son todos los números reales excepto el número 3.
Ahora, por otro lado; límx-->3 (x² -2x -3)/(x-3)=límx-->3 (x-3)(x+1)/(x-3)=límx-->3 (x+1)=4
De manera que: límx-->3 f(x) ≠ f(3)
Por lo que la función NO es continua en x=3.
Mostramos la gráfica de la función f(x), abajo:
Como puede verse, la gráfica de f(x) consta de "dos trozos separados" de una misma recta, es decir, la función f(x) no es continua en 3.
3. Redefinir la función f(x)=(x² -2x -3)/(x-3) para hacerla continua en x=3.
Solución:
Definamos la nueva función F(x)=x+1.
Observación:
1. Dominio F(x)= Todos los números reales.
2. La función F(x)=f(x) si x≠ 3.
3. La función F(x) es continua en 3, ya que límx-->3 F(x) = F(3)
Efectivamente:
límx-->3 x + 1 = 4, donde F(x)=x+1 y F(3)=4.
Como puede verse ahora, la gráfica de F(x) está "completa", sin trozos, es decir la nueva función F(x), sí es continua en 3.
4. Demostrar que la función f(x)=1/x no es continua en x=0.
Solución:
Es claro que límx-->0+ 1/x =+∞ , y también límx-->0- 1/x=-∞.
es decir, límx-->01/x no existe.
Por lo que la función f(x)=1/x no es continua en 0.
3. Ejercicios para asesorías
1. Redefinir la función f(x)=(x² -2x -8)/(x-4) para hacerla continua en x=4.2. Redefinir la función g(x)=(x² -2x -15)/(x-5) para hacerla continua en x=5.
3. Redefinir la función h(x)=(x² -2x -24)/(x-6) para hacerla continua en x=6.
4. Redefinir la función f(x)=(x² -x -6)/(x-3) para hacerla continua en x=3.
5. Redefinir la función g(x)=(x² - 9)/(x-3) para hacerla continua en x=3.