8. Integral definida
1. Integral definida en un intervalo [a,b]
Lema 0. Si n es un número natural, entonces ∑i=1 n ( i² )=n(n+1)(2n+1)/6
Demostración:
Ver video.
Animación.
Ejemplo1. Hallar el área bajo la gráfica de la función f(x)=x2, en el intervalo [0, 1]
Solución:
área = límn--->∞ 1/n(1/n)² + 1/n(2/n)² + ... + 1/n(n/n)² =
= límn--->∞ ∑i=1 n (1/n(i/n)²)=
= límn--->∞ ∑i=1 n (1/n(i²/n²))=
= límn--->∞ ∑i=1 n (1/n³(i²))=
= límn--->∞ 1/n³ ∑i=1 n (i²)=
= límn--->∞ 1/n³ (n(n+1)(2n+1)/6)=
= límn--->∞ 1/n² ((n+1)(2n+1)/6)=
= límn--->∞ ((n+1)(2n+1)/6n²)=
= límn--->∞ (2n²+3n+1)/6n²)=
= límn--->∞ (2n²/6n²+3n/6n²+1/6n²)=
= límn--->∞ (1/3 + 1/n² + 1/6n²)=
= (límn--->∞1/3)+(límn--->∞1/n²)+(límn--->∞1/6n²)=
= 1/3+0+0=
= 1/3
Por lo que el área bajo la gráfica de la función f(x)=x² en el intervalo [0,1] es; 1/3.
Ver la animación de abajo.
También esta animación.
Ejemplo 2. Hallar el área bajo la gráfica de la función f(x)=x2, en el intervalo [0, 2]
logaritmo como integral definida
2. Ejercicios para asesorías
A) Hallar el área bajo la gráfica de la función f(x)=x2, en el intervalo [0, 0.5]B) Hallar el área bajo la gráfica de la función g(x)=x, en el intervalo [0, 2]
C) Hallar el área bajo la gráfica de la función h(x)=3x2 + 1, en el intervalo [0, 3]
D) Hallar el área bajo la gráfica de la función f(x)=x2+ 5x +1, en el intervalo [0, 4]