7. Técnicas de integración

1. Reglas para encontrar integrales

Teorema 1. [constante]  Si k es un número real, entonces  ∫ k dx = k x+C


Demostración:   



Teorema 2. [potencia] Si n es un número entero, con n  ≠ 1, entonces:

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/ (n+1) + C


Demostración:

Teorema 3.[multiplo constante] Sea K un número y f(x) una función

integrable, entonces


∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx


Demostración:


Teorema 4.[suma] Sea f(x) y g(x) funciones integrables, entonces

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Demostración:

Teorema 5.[resta] Sean f(x) y g(x) funciones integrables, entonces

∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx

Demostración:

2. Ejemplos:

1. Hallar la siguiente integral:

∫ x⁴ dx

Solución:  Por el teorema de potencia tenemos:

∫ x⁴ dx = x⁵/ 5 + C


2. Hallar la siguiente integral:

∫  (3∙x ⁵ + 2) dx

Solución:      Primeramente, por el teorema de suma tenemos:

∫  3∙x ⁵ + 2 dx = ∫  3∙x ⁵ dx + ∫  2 dx.

Ahora, por el teorema de multiplo constante y por teorema de constante, tenemos:

∫  3∙x ⁵ dx =  3 ∫  x ⁵ dx=3 ∙ x⁶/6 + K₁    y  que  ∫  2 dx = 2∙x + K₂

Por lo que entonces:

∫  3 x ⁵ + 2 dx  = x⁶ / 2 + 2∙x + K₃



3.

3. Ejercicios para asesorías

 Hallar las siguientes integrales:

A) ∫(5∙x⁷  + 2∙x) dx

B) ∫ 99 dx

C) ∫(3∙x⁷  -  2∙x⁶ + 1) dx

D) ∫(5∙x⁸⁷  + 2∙x⁴  -  7∙x⁰) dx

E)  ∫( Π∙x²+ ¼∙x + 1) dx

F)  ∫ln(5)∙5^x - ln(6)∙6^x dx

G)  ∫6∙sen(x) + 10∙cos(x) - 0.9∙[sec(x)]² dx