7.4 Partes

1. Integración por partes

Teorema: Sean D_x(f) y D_x(g) funciones integrables.


∫ g ^{• _D}x^_(f)  dx  ^₌ g•f   ^-  ∫ f  • D_x(g) dx


Demostración:

<sup>D_x(f • g) = D_x(f) • g  +  f  • D_x(g)

entonces:

∫ D_x(f • g) dx =</sup> ∫ ^{[D_x(f) • g  +}  f  • D_x(g)] dx

es decir;

^{∫ D_x(f • g) dx =} ∫ ^{D_x(f) • g dx  +}  ∫f  • D_x(g) dx

Por lo que:

  ^{f • g =} ∫ ^{D_x(f) • g dx  +}  ∫f  • D_x(g) dx

finalmente:


∫^{D_x(f) • g dx = f  _•  g  -}  ∫f 
•D_x(g) dx.

q.e.d


OBSERVACION:
∫ UdV ^₌ U•V  _^-  ∫ VdU 

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2. Ejemplos

Hallar la siguiente integral:

A) ∫ ^{ln(x) dx_.}

∫ ln(x) dx= ∫ 1  • ln(x) dx = ∫ D_x(x)  • ln(x) dx = x • ln(x)  -  ∫x • 1/x dx = x • ln(x)  -  ∫1 dx = x • ln(x)  - x +C. 

Por lo tanto;

∫ ln(x) dx = x • ln(x)  - x +C


B) ∫ ^{x • ln(x) dx}

∫ x _^• ln(x) dx = ∫ D_x(x² / 2)  • ln(x) dx = x² / 2 • ln(x)  -  ∫x² / 2 • 1/x dx = x² / 2 • ln(x)  -  ∫(x² / 2) • (1 / x)  dx = x² / 2 • ln(x)  - ∫x / 2 dx = x² / 2 • ln(x)  - 1/2 ∫ x dx = x² / 2 • ln(x)  - 1/2 x² / 2 + C = x² / 2 • ln(x) - x² / 4 + C

Por lo que:


∫ _^x • ln(x) dx = x² • ln(x)  / 2  - x² / 4 + C


C)


Esta integral se puede resolver, también, con el método de representación exponencial para números complejos.

D)

E)

F)




G)



H)



I)

J)



K)


L)

3. Ejercicios

Hallar las siguientes integrales.

1.  ∫ e^x • x dx

2. ∫ Cos(x) • x dx

3. ∫ 5^x • cos(x) dx