7.4 Partes

1. Integración por partes

Teorema: Sean D_x(f) y D_x(g) funciones integrables.


∫^{D_x(f) • g dx = f  _•  g  -}  ∫f  • D_x(g) dx


Demostración:

<sup>D_x(f • g) = D_x(f) • g  +  f  • D_x(g)

entonces:

∫ D_x(f • g) dx =</sup> ∫ ^{[D_x(f) • g  +}  f  • D_x(g)] dx

es decir;

^{∫ D_x(f • g) dx =} ∫ ^{D_x(f) • g dx  +}  ∫f  • D_x(g) dx

Por lo que:

  ^{f • g =} ∫ ^{D_x(f) • g dx  +}  ∫f  • D_x(g) dx

finalmente:


∫^{D_x(f) • g dx = f  _•  g  -}  ∫f  •D_x(g) dx.

q.e.d

2. Ejemplos

Hallar la siguiente integral:

a) ∫ ^{ln(x) dx_.}

∫ ln(x) dx= ∫ 1  • ln(x) dx = ∫ D_x(x)  • ln(x) dx = x • ln(x)  -  ∫x • 1/x dx = x • ln(x)  -  ∫1 dx = x • ln(x)  - x +C. 

Por lo tanto;

∫ ln(x) dx = x • ln(x)  - x +C


b) ∫ ^{x • ln(x) dx}

∫ x _^• ln(x) dx = ∫ D_x(x² / 2)  • ln(x) dx = x² / 2 • ln(x)  -  ∫x² / 2 • 1/x dx = x² / 2 • ln(x)  -  ∫(x² / 2) • (1 / x)  dx = x² / 2 • ln(x)  - ∫x / 2 dx = x² / 2 • ln(x)  - 1/2 ∫ x dx = x² / 2 • ln(x)  - 1/2 x² / 2 + C = x² / 2 • ln(x) - x² / 4 + C

Por lo que:


∫ _^x • ln(x) dx = x² • ln(x)  / 2  - x² / 4 + C




Esta integral se puede resolver, también, con el método de representación exponencial para números complejos.

3. Ejercicios

Hallar las siguientes integrales.

1.  ∫ e^x • x dx

2. ∫ Cos(x) • x dx