3. Derivada

1. Un poco de la derivada

Definición: Si el recorrido de un objeto está modelado por una función f(t), donde t es el tiempo en el intervalo [a,b]. Entonces:

(A) La distancia en el intervalo de tiempo [a, b], es:

d([a,b])=f(b)-f(a)

(B) La velocidad promedio del objeto en el intervalo de tiempo [a, b], es:

v_prom=(f(b)-f(a))/(b-a)

(C) La velocidad instantánea del objeto en el tiempo t=a, es:

v(a) = lím _{b ->a}(f(b)-f(a)) / (b-a)

Lema: Sea f(t) una función, entonces la velocidad instantanea de f en a es:

v(a) = lím _{t ->0} (f(c+t)-f(c)) / t

Prueba:

Sea b = a+t. Si b -->a , entonces t -->0.

Por lo que:

v(a) = lím _{b ->a}(f(b)-f(a)) / (b-a)
= lím _{t-> 0}(f(a+t)-f(a)) / t

1.1 Ejemplos

Ejemplo1. Un objeto que se deja caer verticalmente, recorre una distancia s (en pies), en el tiempo t mediante el siguiente modelo matemático:

s(t)=16t²

(a) ¿Cuánto caerá entre t=0 y t=1?
(b) ¿Cuánto caerá entre t=1 y t=2?
(c) ¿Cuál es la velocidad promedio en el intervalo [2,3]?
(d) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo [2, 2.003]?
(e) ¿Cuál es su velocidad instantánea en t=3?

Solución:

(a) s(1)=16 y s(0)=0, por lo que la distancia recorrida en [0,1] es de:

s(1)-s(0)=16-0
=16 pies

(b) s(1)=16, s(2)=16*4=64, por lo que la distancia recorrida en [1,2] es de:

s(2)-s(1)=64-16
=48 pies

v_prom=(s(3)-s(2))/(3-2)
=80/1
=80 pies/seg

(d) s(3.01)=16*(3.01)²=144.9616 y s(3)=144, por lo que la velocidad promedio en [3, 3.01] es:

v_prom=(s(3.01)-s(3))/(3.01-3)
      =(144.9616-144)/(3.01-3)
      =0.9616/0.01
      =96.16 pies/seg

(e) Calculemos el siguiente límite:

v(3)=lím _t->0 [s(3+t)-s(3)]/t
   = lím _t->0 [16*(3+t)²-s(3)]/t
   =lím _t->0 [16*(9+6t+t²)-(16*9)]/t
   =lím _t->0 [16*9+ 16*6t+ 16*t²-16*9]/t
   =lím_t->0 [16*6t+16*t²]/t
   =lím _t->0 [t*(16*6+16*t)]/t
   =lím _t->0 [16*6+16*t]
=lím _t->0 [16*6]+lím _t->0 [16 t]

=16*6 + 0
=96 pies/seg.

Ejemplo 2. Supongamos que en una pista de carreras, un auto tiene los siguientes datos:

tiempo en seg	0	1	2	3	4	5	6	7
distancia en m	0	5	10	15	20	25	30	35

Si la distancia d en el tiempo t se encuentra modelada por la siguiente función:

d(t)= 5 t

(a) ¿Cuánta distancia avanzó entre t=1 y t=2?
(b) ¿Cuánto distancia avanzó entre t=4 y t=6?
(c) ¿Cuál es la velocidad promedio en el intervalo [2, 2.1] ?
(d) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo [2, 2.01] ?
(e) ¿Cuál es su velocidad instantánea en t=2?
(f) ¿Cuál es su velocidad instantánea en t=6?

Solución:

a) d([1, 2])=d(2) - d(1)=10-5=5 m.

b) d([4, 6])=d(6) - d(4)=30-20=10 m.

c) v_prom([2, 2.1])= (10.5-10) / (2.1-2)=0.5/0.1=5 m/seg.

d) v_prom([2, 2.01])= (10.05-10) / (2.01-2)=0.05/0.01=5 m/seg.

e) v(2)=lím _t->0 [d(2+t)-d(2)]/t
   = lím _t->0 [5(2+t)- 5*2]/t
   =lím _t->0 [10+ 5t-10]/t
   =lím _t->0 5t/t
   =5 m/seg

f) v(6)=lím _t->0 [d(6+t)-d(6)]/t
   = lím _t->0 [5(6+t)- 5*6]/t
   =lím _t->0 [30+ 5t - 30]/t
   =lím _t->0 5t/t
   =5 m/seg

Podemos concluir que la velocidad del auto es constante en todo momento y, es de 5 m /seg.

2. Definición general de derivada.

Definición: La derivada de una función f es otra función f ' cuyo valor en cualquier número a es :

f '(a)=lím _{t -> 0} [f(a+t)-f(a)]/t

siempre que este límite exista y no sea infinito.

2.1. Ejemplos

Ejemplo 1. Hallar la derivada de la función f(x)=3x-4 en x₀=3 y x₀=x.

Solución:
a) Calculemos f '(3).

f '(3)=lím _t->0 [f(3+t) - f(3)]/t
    =lím _t->0 [3(3+t) - 4 - (3(3)-4)]/t
    =lím _t->0 [3(3)+3t - 4 - 5]/t
    =lím _t->0 3t/t
    =lím _t->0 3
    =3

b) Calculemos f '(x).

f '(x)=lím _t->0 [f(x+t)-f(x)]/t
    =lím _t->0 [3(x+t)-4-(3x-4)]/t
    =lím _t->0 [3x+3t-4-3x+4]/t
    =lím _t->0 3t/t
    =lím _t->0 3
    =3

Por lo que; f '(x)=3, la función constante 3.

Ejemplo 2. Hallar la derivada de g(x)=x²+3 en x₀=x.

Solución: Calculemos g' (x).

g'(x)=lím _t->0 [g(x+t)-g(x)]/t
    =lím _t->0 [(x+t)²+3-(x²+3)]/t
    =lím _t->0 [x²+2xt+t²+3-x²-3]/t
    =lím _t->0 (2xt+t²)/t
    =lím _t->0 t(2x+t)/t
    =lím _t->0 (2x+t)
    =2x

Por lo tanto; g' (x)=2x.

3. Ejercicios para asesorías

Ejercicio1. En cierto cultivo de bacterias su masa en el tiempo t, crece mediante el siguiente modelo matemático:

m(t)=1.6t²+2

(a) ¿Cuánta masa tendrá entre t=0 y t=1?
(b) ¿Cuánta masa tendrá entre t=1 y t=2?
(c) ¿Cuál es la velocidad promedio de crecimiento en el intervalo [2,3]?
(d) ¿Cuál es su velocidad promedio de crecimiento en el intervalo [2, 2.03]?
(e) ¿Cuál es su velocidad promedio de crecimiento en el intervalo [2, 2.003]?
(f) ¿Cuál es su velocidad instantánea de crecimiento en t=2?

Ejercicio 2. Supongamos que en una pista de carreras, un auto tiene los siguientes datos:

tiempo en seg	0	1	2	3	4	5	6	7
distancia en m	3	8	13	18	23	28	33	38

Si la distancia d en el tiempo t se encuentra modelada por la siguiente función:

d(t)= 5 t + 3

(a) ¿Qué distancia avanzó entre t=1 y t=2?
(b) ¿Qué distancia avanzó entre t=4 y t=6?
(c) ¿Cuál es la velocidad promedio en el intervalo [4, 4.1] ?
(d) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo [4, 4.01] ?
(e) ¿Cuál es su velocidad instantánea en t=4?
(f) ¿Cuál es su velocidad instantánea en t=5?

Ejercicio 3. Hallar la derivada de la función: f(x)=4x-6 en x₀=6 y x₀=x.

Ejercicio 4. Hallar la derivada de g(x)=3x²-1 en x₀=7 y x₀=x.

Ejercicio 5. Hallar la derivada de h(x)=4x³+2 en x₀=4 y x₀=x.