5. Optimización

1. Teorema de Bolzano y Valor intermedio

2. Teoremas de la función acotada

A continuación se dan algunos teoremas suficientes para demostrar el teorema del valor máximo y mínimo para funciones continuas en un intervalo cerrado.

3. Teorema del máximo y mínimo para funciones continuas

4. Puntos críticos

 

Definición: Sea f : A -> B una función. Siendo a un elemento de A, decimos que:

1. f(a) es el valor máximo de f en A, si f(a) ≥ f(x) para todo x en A. El número a se llamará maximante de f,  a=maxt(f)
2. f(a) es el valor mínimo de f en A, si f(a) ≤ f(x) para todo x en A. El número a se llamará minimante de f,  a=mínt(f)
3. f(a) es un valor extremo de f en A, si f(a) es un valor máximo o valor mínimo.

Teorema: [Valor extremo de suficiencia] Sea f : A -> B una función y [a,b] un intervalo cerrado de A.
Si la función f es continua [a,b], entonces f tiene un valor máximo y mínimo en [a,b].

Definición: Sea f : A -> B una función y I=[a, b] un subconjunto de A.
A). Los números a y b se llaman puntos frontera de I.
B). Si el número c cumple que a<c<b y f'(c)=0, entonces c se llama punto estacionario del intervalo I.
C). Si el número c cumple que a<c<b y f'(c) no existe, entonces c se llama punto singular del intervalo I.
D). El número c se llama punto crítico de f en I si, y sólo si, es punto frontera, estacionario ó, singular.

Teorema: [Valor extremo de necesidad] Sea f : A -> B una función y [a,b] un intervalo cerrado de A, con c un elemento de [a,b]
Si f(c) es un valor extremo de f en I=[a,b], entonces c es punto crítico de f en I.

5. Ejemplos

Ejemplo 1. Hallar los puntos críticos de la función f(x)=x³/9 -3x +10 en el intervalo cerrado [-4, 4]

Solución:

a) Puntos frontera:

-4, 4

b) Puntos estacionarios:

f'(x)=x²/3-3, por lo que f'(x)=0 si, y sólo si, x²/3-3=0 si, y sólo si, x²=9 si, y sólo si,
x=3 ó x=-3.

c) Puntos singulares:

La función f' está definida para todo número real.

Por lo que no hay puntos singulares.

De manera que los puntos críticos son: -4, -3, 3, 4.

Ejemplo 2. Hallar los valores extremos (máximos y mínimos) de la función f(x)=x³/9 -3x +10 en el intervalo cerrado [-4, 4]

Solución:

Por el Teorema del valor extremo suficiencia, los máximos y mínimos existen.
Ahora bien; por el teorema del valor extremo necesidad, los máximos y mínimos se encuentran en las imagenes de los puntos críticos.
Es por eso que debemos buscarlos de entre los puntos críticos.
Por el ejemplo anterior sabemos que los puntos críticos son: -4, -3, 3 y 4.
f(-4)=-14.8^-
f(-3)=16  máximo
f(3)=4    mínimo
f(4)=5.1^-

Por lo que: f(-3)=16 , f(3)=4 son los valores extremos.



Ejemplo 3.  Hallar los valores extremos de la función valor absoluto en [-2,2]

6. Ejercicios

1. Hallar los valores extremos (máximos y mínimos) de la función f(x)=-2x³ + 3x² en el intervalo cerrado [-1/3, 2]

Ayuda. ver la imagen de abajo.






2. Hallar los valores extremos (máximos y mínimos) de la función f(x)=√x en el intervalo cerrado [1, 3]

Ayuda. ver la imagen de abajo.