6. Integral indefinida
1. Integral (indefinida)
Definición: Sean las funciones f y F definidas en el mismo intervalo (a,b), tal que F'(x)=f(x) para todo x en (a,b). Decimos que f es integrable y que F es una integral indefinida, de f.
Observación 1. La función F de la definición anterior también suele llamarse como antiderivada de f.
Observación2: Si F es una integral indefinida de f, entonces también lo es cualquier función de la forma F(x)+C donde C es un número real.
Notación: Se acostumbra a escribir a la integral indefinida de una función f por:
∫f(x)dx
2. Ejemplos
1) Hallar la integral indefinida de la función constante 2.
Puesto que si derivamos la función 2x, tenemos: d(2x)/dx=2.
Por lo que:
∫2dx= 2x +C
2) Hallar la integral indefinida de la función constante a.
Puesto que si derivamos la función ax, tenemos: d(ax)/dx=a.
Por lo que:
∫adx= ax +C
3) Hallar la integral indefinida de la función ax + v.
Puesto que si derivamos la función ax²/2 + v x, tenemos: d(ax²/2+v x)/dx=ax+v.
Por lo que:
∫ax/2 + v dx = ax²/2 + vx + C
Observación: La integral del ejemplo 3, es la ecuación de posición de un objeto con movimiento rectilíneo uniformente acelerado, esto es, con aceleración constante.
4) Hallar la integral indefinida de x.
Puesto que si derivamos la función x2/2, tenemos que: d(x2/2)/dx=x.
Así que:
∫xdx= x2 / 2+C
5) Hallar la integral indefinida de cos(x).
Puesto que si derivamos la función sen(x), tenemos que: d(sen(x))/dx=cos(x).
Por lo que:
∫cos(x)dx= sen(x) +C
6) Hallar la integral indefinida de ex.
Puesto que si derivamos la función ex, tenemos: d(ex)/dx=ex.
Por lo que:
∫exdx= ex +C
7) Hallar la integral indefinida de la función 1/x.
Puesto que si derivamos la función ln(x): d(ln(x))/dx=1/x.
Por lo que:
∫1/xdx= ln(x) +C
3. Ejercicios para asesoría
Hallar las integrales indefinidas siguientes:1. ∫3x dx
2. ∫x2dx
3. ∫5x3dx
4. ∫√x dx
5. ∫1 / [2∙√x] dx
6. ∫sen(x)dx
7. ∫[sec(x)]²dx
8. ∫ 1/ x5 dx
9. ∫ ln(3) ∙ 3x dx
10. ∫ 1 / [ ln(3) ∙ x ] dx