4. Técnicas de derivación
1. Reglas para encontrar derivadas
Teorema 1. La derivada de una función constante, es la función constante cero.Esto es, si f(x)=k, donde k es una constante, entonces f'(x)=0.
Demostración:
Supongamos que f(x)=k.
Entonces:
f'(x)=lím h->0 [f(x+h)-f(x)]/h
=lím h->0 [k-k]/h
=lím h->0 0/h
=lím h->0 0
=0
Por lo tanto; f'(x)=0.
Teorema 2. La derivada de la función identidad es la función constante uno. Esto es;
Si f(x)=x, entonces f'(x)=1.
Demostración:
Sea f(x)=x, para todo x.
f'(x)=lím h->0 [f(x+h)-f(x)]/h
=lím h->0 [(x+h)-(x)]/h
=lím h->0 h/h
=lím h->0 1
=1
Por lo tanto; f'(x)=1.
Teorema 3. [potencia entera]Si n es un número entero positivo y f(x)=xn, entonces f'(x)=nxn-1.
Demostración:
Sea f(x)=xn, para todo x.
f'(x)=lím h->0 [f(x+h)-f(x)]/h
=lím h->0 [(x+h)n-xn]/h
=lím h->0 [(n,0)xnh0+ (n,1)xn-1h1+ (n,2)xn-2h2+....+(n,n)xn-nhn-xn]/h
=lím h->0 [xn+ (n,1)xn-1h1+ (n,2)xn-2h2+....+(n,n)xn-nhn-xn]/h
=lím h->0 [ (n,1)xn-1h1+ (n,2)xn-2h2+....+(n,n)xn-nhn]/h
=lím h->0 h[(n,1)xn-1+ (n,2)xn-2h1+....+(n,n)xn-nhn-1]/h
=lím h->0 [(n,1)xn-1+ (n,2)xn-2h1+....+(n,n)xn-nhn-1]
=lím h->0 [(n,1)xn-1]
=lím h->0 nxn-1
= nxn-1
Por lo tanto; f'(x)=nxn-1
Teorema 4.[multiplo constante] Sea K un número y f(x) una función derivable.
Si g(x)=k f(x), entonces g'(x)=k f'(x).
Demostración:
Sea g(x)=k f(x), para todo x.
g'(x)=lím t->0 [g(x+t)-g(x)]/t
=lím t->0 [k f(x+t)-k f(x)]/t
=lím t->0 k [f(x+t)-f(x)]/t
=k lím t->0 [f(x+t)-f(x)]/t
=k f'(x)
Por lo tanto; g'(x)=k f'(x).
Teorema 5.[suma] Sea g(x) y h(x) funciónes derivables.
Si F(x)=g(x)+h(x), entonces F'(x)=g'(x)+h'(x).
Demostración:
Sea F(x)=g(x)+h(x), para todo x.
F'(x)=lím t->0 [F(x+t)-F(x)]/t
=lím t->0 [g(x+t)+h(x+t)-(g(x)+h(x)]/t
=lím t->0 [(g(x+t)-g(x))+(h(x+t)-h(x))]/t
=lím t->0 [g(x+t)-g(x)]/t + lím t->0 [h(x+t)-h(x)]/t
=g'(x) +h'(x)
Por lo tanto; F'(x)=g'(x)+h'(x).
Teorema 6.[resta] Sea g(x) y h(x) funciónes derivables.
Si F(x)=g(x)-h(x), entonces F'(x)=g'(x)-h'(x).
Demostración:
Sea F(x)=g(x)-h(x), para todo x.
F'(x)=lím t->0 [F(x+t)-F(x)]/t
=lím t->0 [g(x+t)-h(x+t)-(g(x)-h(x)]/t
=lím t->0 [(g(x+t)-g(x))-(h(x+t)-h(x))]/t
=lím t->0 [g(x+t)-g(x)]/t - lím t->0 [h(x+t)-h(x)]/t
=g'(x) -h'(x)
Por lo tanto; F'(x)=g'(x)-h'(x).
Teorema 7.[multiplicación] Sea g(x) y h(x) funciónes derivables.
Si F(x)=g(x)*h(x), entonces F'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x).
Demostración:
Sea F(x)=g(x)*h(x), para todo x.
F'(x)=lím t->0 [F(x+t)-F(x)]/t
=lím t->0 [g(x+t)*h(x+t)- g(x)*h(x)]/ t
=lím t->0 [g(x+t)*h(x+t) + 0 - g(x)*h(x)]/ t
=lím t->0 [g(x+t)*h(x+t) - g(x)*h(x+t) + g(x)*h(x+t) - g(x)*h(x)]/ t
=lím t->0 [g(x+t)*h(x+t) - g(x)*h(x+t) + g(x)*h(x+t) - g(x)*h(x)]/ t
=lím t->0 [h(x+t)*(g(x+t)-g(x)) + g(x)*(h(x+t)- h(x))]/ t
=lím t->0 [h(x+t)*(g(x+t)-g(x))]/ t + lím t->0[g(x)*(h(x+t)- h(x))]/ t
=lím t->0 [h(x+t)] * lím t->0[g(x+t)-g(x)]/ t + lím t->0[g(x)]* lím t->0[h(x+t)- h(x)]/ t
= h(x) * g'(x) + g(x) * h'(x)
Por lo tanto; F'(x)= h(x) * g'(x) + g(x) * h'(x)
Teorema 8.[Inveso multiplicativo] Sea g(x) una función deribable con g(x)≠0
Entonces la función [1/g(x)] es derivable y:
[1/g(x)]'= - g(x)'/g(x)²
Demostración:
[1/g(x)]'=lím t->0 [1/g(x+t) - 1/g(x)] / t
=lím t->0 (g(x)- g(x+t)) / (g(x+t)g(x)) / t
=lím t->0 (g(x)- g(x+t)) / t (g(x+t)g(x))
=lím t->0 [-(g(x+t)-g(x)) / t] * [1 / (g(x+t)g(x))]
=lím t->0 [-(g(x+t)-g(x)) / t] * lím t->0 [1/(g(x+t)g(x))]
= - lím t->0 [(g(x+t)-g(x)) / t] * lím t->0 [1/(g(x+t)g(x))]
= - g(x)' * 1/g(x)g(x)
= - g(x)' * 1/g(x)²
= - g(x)' / g(x)²
Teorema 9.[Cociente] Sean g(x) y h(x) funciones deribables con g(x)≠0
Entonces la función cociente g(x)/h(x) es derivable y:
[g(x)/h(x)]'=[h(x)g(x)' - h(x)'g(x)]/h(x)²
Demostración:
[g/h]' = [g * 1/h]' Aplicando el teorema 7 de la multiplicación.
= g' * 1/h + g * (1/h)'
= g' * 1/h + g * (-h'/h²)'
= (g' * h + g*(-h'))/h²
= (g' * h - g * h') / h²
Teorema 10.[Raíz cuadrada de función] Sea f(x) funcion deribables con f(x)≥0, entonces la función raíz cuadrada de f(x) es derivable y:
d/dx(√f(x)) = d /dx f(x) / 2*√f(x)
Demostración:Sea g(x)=√f(x)
Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, tenemos:
g(x)²=(√f(x))²
g(x)² = f(x)
Por lo que; sí derivamos en ambos lados de la ecuación:
d/dx g(x)²=d /dx f(x)
Por la regla del producto:
g(x) * d/dx g(x) + d/dx g(x)* g(x)= d /dx f(x)
2*g(x)* d/dx g(x)= d /dx f(x)
d/dx g(x)= d /dx f(x) / 2*g(x)
Por lo que:
d/dx(√f(x))= d /dx f(x) / 2*√f(x)
2. Ejemplos:
1. Hallar la derivada de la función f(x)=3.
Solución: Por en teorema 1, tenemos que f'(x)=0.
2. Hallar la derivada de la función f(x)=x.
Solución: Por en teorema 2, tenemos que f'(x)=1.
3. Hallar la derivada de la función f(x)=x3.
Solución: Por en teorema 3, tenemos que f'(x)=3x2.
4. Hallar la derivada de la función f(x)=5x6.
Solución: Por en teorema 4, tenemos que f'(x)=5*6x5=30x5
5. Hallar la derivada de la función f(x)=x6 + 4 x3.
Solución: Por en teorema 5, tenemos que f'(x)=6x5 + 12 x2
6. Hallar la derivada de la función f(x)=8x4 - 3 x2.
Solución: Por en teorema 6, tenemos que f'(x)=32x3 - 6 x.
7. Hallar la derivada de la función f(x)=8x4 * 3 x2.
Solución: Por en teorema 7, tenemos que f'(x) = 8x4 * 6x + 32x3 * 3x2
f'(x) = 48x5+96x5
f'(x) = 144x5.
8. Si f(x)=3 x2, hallar la derivada de 1/f(x).
Solución: Por en teorema 8, tenemos que f(x)²=9x4 y f'(x) = 6x,
De manera que [1/f(x)]'= - 6x / 9x4
9. Si f(x)=3 x2 y g(x)=4x³, hallar la derivada de f(x)/g(x).
Solución: Por en teorema 9, tenemos que f(x)'=6x, g(x)²=16x6 y g'(x) = 12x²,
De manera que [f(x)/g(x)]'= [4x³ * 6x - 12x² * 3 x2 ]/ 16x6
=[24x4-36x4]/16x6
=[-12x4]/16x6
=(-12/16) x¯2
=(-3/4) x¯2
10.
11.
12.
3. Ejercicios
Hallar las derivadas de las siguientes funciones:1. F(x)=6x10
2. G(x)=4 x5 + 6 x²
3. H(x)=2x2 - 3x5
4. F(x)=x-2+ x-1+ 1 + x + x2+ x3
5. G(x)=4x-4- 5x-6+5x8
6. F(x)=6x4 * √x
7. G(X)= x * √x
8. H(x)=3x4*2x9+ 4x5
9. F(x)=1/x²
10. G(x)=4x²/3x3