4.2 Derivadas importantes
1. Derivada de la función raíz cuadrada
Teorema: La función √x es derivable y(√x )'= 1/ (2√x)
Demostración:
(√x )' = lím h-->0 [(√(x+h)-√x ] / h
= lím h-->0 1/h [(√(x+h)-√x ] *1
= lím h-->0 1/h [(√(x+h)-√x ] {[√(x+h)+√x] / [√(x+h)+√x]}
= lím h-->0 1/h [(√(x+h)-√x ] [√(x+h)+√x] / [√(x+h)+√x]
= lím h-->0 1/h [(√(x+h)² -√x² ] * 1/ [√(x+h)+√x]
= lím h-->0 1/h [ x+h -x ] * 1/ [√(x+h)+√x]
= lím h-->0 1/h (h) * 1/ [√(x+h)+√x]
= lím h-->0 1 * 1/ [√(x+h)+√x]
= lím h-->0 1/ [√(x+h)+√x]
= 1/ [√x+√x]
= 1/ 2√x
2. Derivadas de funciones trigonométricas
Lema: Para las funciones seno y coseno se cumplen los siguientes límites:
1. límx-->0 sen(x) / x = 1.
2. límx-->0 [cos(x)-1] / x = 0.
Teorema: Las funciones sen(x) y cos(x) son derivables en el conjunto de todos los números reales y:
sen'(x)=cos(x) y cos'(x)=-sen(x)
Demostración:
sen'(x) = lím h-->0 [sen(x+h)-sen(x)] / h = lím h-->0 [sen(x)cos(h)+cos(x)sen(h) - sen(x)] / h=lím h-->0 [sen(x)(cos(h)-1)+cos(x)sen(h)] / h=lím h-->0 [sen(x)(cos(h)-1)]/h +[cos(x)sen(h)] / h=lím h-->0 [sen(x)(cos(h)-1)]/h + lím h-->0 [cos(x)sen(h)] / h = sen(x) lím h-->0 [(cos(h)-1)]/h + cos(x) lím h-->0 sen(h) / h = sen(x) (0) + cos(x) (1)= cos(x).
El otro resultado se demuestra similarmente.
Teorema: d/dx Tan(x)=Sec(x)²
Demostración:
Tan(x)=sen(x)/cos(x).
Por lo que Tan(x) ' = [sen(x)/cos(x)]'
= [cos(x) cos(x) - -sen(x) sen(x) ] / cos(x)2
=cos(x)2 + sen(x)2 / cos(x)2
=1 / cos(x)2
= Sec(x) 2
3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Derivada de f(x)=arcosen(x)
Derivada de f(x)=arcocos(x)
Derivada de f(x)=arcotan(x)
4. Derivadas logarítmicas y exponenciales
Lema: Para las funciones logarítmo natural y exponencial se cumple los siguientes límites:1. límh-->0 ln(1+h) / h =1
2. límh-->0 (eh -1)/ h =1
Teorema: La función ex es derivable en el conjunto (-∞, +∞) y:
exp'(x)=exp(x)
Demostración:
(ex)'=límh-->0 [e(x+h)- ex ] / h = límh-->0 [ex eh - ex] / h =límh-->0 (ex eh-1) / h = ex · (límh-->0 (eh -1)/ h) = ex ·1 = ex
Teorema: La función ln(x) es derivable en el conjunto (0, +∞) y:
ln'(x)=1/x
Demostración:
[ln(x)]'=límh-->0 [ ln(x+h) - ln(x) ] / h = límh-->0 ln[(x+h)/x] / h =
límh-->0 ln[1+h/x] / h = límh-->0 ln[1+h/x] / (h x / x) =
límh-->0 [1/ x] · {ln[1+h/x] / (h/x)} = [1/x] · límh-->0 {ln[1+h/x] / (h/x)}=
1 / x · 1 = 1 / x
Teorema: Si a>0, la función loga(x) es derivable en el conjunto (0, +∞) y:
loga'(x)=1 / [ln(a) * x]
Demostración:
Observemos que Loga(x)=Ln(x) / Ln(a)
Loga(x) ' = [1/ Ln(a) * Ln(x)]'
Loga(x) ' = [1 / Ln(a)] * [Ln(x)]'
Loga(x) ' = [1 / Ln(a)] * [1/ x]
Loga(x) ' = 1 / [Ln(a) * x]
Teorema: Si a>0, la función ax es derivable en el conjunto (-∞, +∞) y:
(ax )'=ax * ln(a)
Demostración:
Primero observemos que ax es un número positivo para todo x número real, esto es, ax>0. De manera que podemos aplicarle la función logaritmo natural.
ln(ax)
Ahora bien; la función exponencial (ex) es la función inversa de ln. Por lo que tenemos:
e(ln (ax))=ax
Por una propiedad de logaritmo tenemos que x ln(a) =ln(ax). Por lo que; finalmente tenemos:
ex ln (a) =ax
Así, que ya podemos derivar la función: ex ln (a) =ax
(ex ln (a))'=ex ln (a) * ln(a)=(eln (a) )x * ln(a)=ax * ln(a)
Por lo que:
(ax )'= ax * ln(a)
5. Ejemplos resueltos
1. Hallar la derivada de la siguiente función:f(x)=Tan(√x)
Solución:
d/d(x) Tan(√x)=Sec(√x) ² * 1/2√x
es decir:
d/d(x) Tan(√x) = Sec(√x) ² / 2√x
2. Hallar la derivada de la siguiente función:
f(x)=Sen(5x+2)3
Solución:
En este ejemplo tenemos que la primera función que actúa es: Sen(5x+2), la segunda función que actúa es: ( )³.
Por la regla de la cadena, tenemos que:
d/dx [Sen(5x+2)3] = 3 * [ Sen(5x+2)]2 * [d/dx Sen(5x+2)]
Nuevamente, por regla de cadena:
d/dx [Sen(5x+2)] = Cos(5x+2)*5
Por lo que:
d/dx [Sen(5x+2)3] = 15 * Sen(5x+2)2 * Cos(5x+2)
3. Hallar la derivada de la siguiente función:
f(x)=5x+2x
Solución:
Por la regla de la suma, tenemos que:
d/dx [5x+2x ] = d/dx 5x + d/dx 2x
= 5 + ln(2) * 2x
4. Hallar la derivada de la siguiente función:
H(x)= Sen(Log3(4x+1))
6. Ejercicios para asesoría.
Hallar las derivadas de las siguientes funciones:1. F(x)= Sen(4x)
2. G(x)= Cos(3x-6)
3. H(x)= Tan(x2)
4. F(x)= ln(sen(x))
5. G(x)= ln(x2 + 6)
6. H(x)= Sen(Log3(4x+1))
7. F(x)= 4x +7x2 - 3
8. G(x)=(3 Sen(x) + 3x² -1)4
9. H(x)=(4Cos(x) + x3)6
10. F(x)=Sen(x2)/√x