4.1 Regla de cadena

1. Regla de la cadena

Teorema1: Sea f: A -> B, una funcion con x₀ en A. Si la función f es continua en x₀, entonces

Lím_{h -->0} [f(x₀ + h) - f(x₀)]=0

Definición: Sea f: A -> B, una funcion con x₀ en A. Si la función f tiene derivada en x₀, se define la función Error de f en x₀.

Ef(x₀, h) = [f(x₀ + h) - f(x₀) ] / h - f ' (x₀), si h ≠ 0

Ef(x₀, h) = 0, si h=0

Teorema2: Sea f: A -> B, una funcion con x₀ en A. Si la función f tiene derivada en x₀, entonces

Lím _{h -->0} Ef(x₀, h) = 0.

Teorema[Regla de cadena]: Sean f: A -> B, g: B -> C dos funciones y x en A. Si la función f tiene derivada en x , la función g tiene derivada en f(x), entonces la función composición

g ° f

tiene derivada en x

[g ° f ] '(x)=g ' (f(x)) * f '(x)

Demostración:

Sea x₀ en A. Si hacemos u=f(x₀), y k = f(x₀ + h) - f(x₀)

[ g ° f (x₀ + h) - g ° f (x₀) ] / h = k•[ g(u+k) - g(u)] / [k•h]
= (k / h)•[g(u+k) - g(u)] / k
= (k / h)•[ Eg(u; k) + g'(u)] [1]

Por el teorema1, tenemos que si h-->0, entonces k-->0. Esto es;

Lím _{h -->0} Eg(u; k) = Lím _{k -->0} Eg(u; k).

Pero por el teorema2, tenemos que:

Lím _{k -->0} Eg(u; k)=0.

Por lo tanto; Lím _{h -->0} Eg(u; k)=0.

Ahora bien; considerando límites en la ecuación [1], tenemos:

Lím _{h -->0}[ g ° f (x₀ + h) - g ° f (x₀) ] / h = Lím _{h -->0}{(k / h)•[ Eg(u; k) + g'(u) ]}
                                                                 = Lím _{h -->0}(k / h) • Lím _{h -->0}[ Eg(u; k) + g'(u) ]
                                                                 = f '(x₀) • g'(u)
                                                                 = f '(x₀) • g'(f(x₀))

Por tanto:

(g ° f ) ' (x₀) = g'(f(x₀)) • f '(x₀)

2. Ejemplo

1. Hallar la derivada de y(x)=(x²+3x-4)⁶

Solución:

Podemos pensar que g(u)=u²+3u-4 y que f(v)=v⁶ por lo que entonces y(x)=f ° g(x)

Ahora bien; g'(u)=2u +3 para todo u en R, y f'(v)=6 v⁵ para todo v en R.

Aplicando regla de cadena: y'(x)=6(x²+3x-4)⁵ * (2x+3)

2. Hallar la derivada de y(x)=2^x

Primero observemos que 2^x es un número positivo para todo x número real, esto es, 2^x>0. De manera que podemos aplicarle la función logaritmo natural.

ln(2^x)

Ahora bien; la función exponencial (e^x) es la función inversa de ln. Por lo que tenemos:

e(ln (2^x))=2^x

Por una propiedad de logaritmo tenemos que x ln(2) =ln(2^x). Por lo que; finalmente tenemos:

e^{x ln (2)} =2^x

Así, que ya podemos derivar la función: e^{x ln (2)} =2^x

y'(x)=(e^{x ln (2)})'=e^{x ln (2)} * ln(2)=(e^{ln (2)} )^x * ln(2)=2^x * ln(2)

Por lo que:

y'(x)=ln(2) * 2^x.

3. Ejercicios

Hallar la función derivada de las siguientes funciones:

1. F(x)=(3x² + 3x -7)⁷

2. G(x)=(3 x + 3x² -1)⁴

3. H(x)=(4x² - x³)⁶ - 1/x

4. F(x)=(√x - x + x²)² - 4x⁶

5. G(x)=8(√x )³