5.1 Gráficas
1. Teorema del Valor medio
A continuación se dan algunos teoremas necesarios y suficientes para luego demostrar los criterios de la primera y segunda derivada.
2. Lo que nos dicen f' y f'' de f.
Definición: Sea f una función definida en un intervalo I. La función f es:- creciente en I, si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2), con x1, x2 en I;
- decreciente en I, si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2), con x1, x2 en I;
Corolario:[Criterio Primera derivada] Sea f una función continua en (a,b) y c un punto crítico dentro del intervalo (a,b).
- Si f '(x) > 0 en (a,c) y f '(x) < 0 en (c, b) entonces f(c) es valor máximo local de f .
- Si f '(x) < 0 en (a,c) y f '(x) > 0 en (c, b) entonces f(c) es valor mínimo local de f .
1. Se sigue de los teoremas 6 y 7.
2. Se sigue de los teoremas 8 y 9.
Definición: Sea f una función derivable en (a,b). La función f y su gráfica es:
- Cóncava hacia arriba en [a, b], si f ' es creciente en [a,b];
- Cóncava hacia abajo en [a, b], si f ' es decreciente en [a,b];
Teorema:[Concavidad] Sea f una función dos veces derivable en (a,b).
- Si f ''(x) > 0 en (a,b), entonces f es cóncava hacia arriba en [a,b].
- Si f ''(x) < 0 en (a,b), entonces f es cóncava hacia abajo en [a,b].
1. La función f' es derivable en (a,b) y f ' ' (x)=f ' (f ')(x) >0, por el teorema de monotonia, f ' es creciente en [a,b]. Esto es, f es cóncava hacia arriba en [a,b].
2. La función f' es derivable en (a,b) y f ' ' (x)=f ' (f ')(x) <0, por el teorema de monotonia, f ' es decreciente en [a,b]. Esto es, f es cóncava hacia abajo en [a,b].
3. Ejemplos
1). Hacer la gráfica de f(x) = x³/9 - 3x + 10Solución:
1. Calculemos la primera y segunda derivada.
a) f ' (x)=x²/3-3
b) f '' (x)=2x/3
2. Encontremos los puntos críticos: -3 y 3.
a) Puntos frontera: No hay.
b) Puntos estacionarios: -3 y 3.
x²/3-3=0 si, y sólo si, x²=9 si, y sólo si, x=3 ó x=-3.
c) Puntos singulares: No hay.
3. Creciente: (-∞, -3) U (3, +∞).
f ' (x) >0 si, y sólo si, x²/3-3>0 si, y sólo si, x²>9 si, y sólo si, x²-9>0 si, y sólo si, (x+3)(x-3)>0 si, y sólo si:
Caso 1.
x+3 >0 y x-3 >0
si, y sólo si,
x>-3 y x>3
si, y sólo si,
x>3
si, y sólo si,
(3, +∞)
Caso 2.
x+3 < 0 y x-3 < 0
si, y sólo si,
x<-3 y x<3
si, y sólo si,
x<-3
si, y sólo si,
(-∞, -3)
De manera que f ' (x) >0 si, y sólo si, (-∞, -3) U (3, +∞).
4. Decreciente: ( -3, 3).
f ' (x) < 0 si, y sólo si, x²/3-3<0 si, y sólo si, x²<9 si, y sólo si, x²-9<0 si, y sólo si, (x+3)(x-3)<0 si, y sólo si:
Caso 1.
x+3 >0 y x-3 <0
si, y sólo si,
x>-3 y x<3
si, y sólo si,
-3<x<3
si, y sólo si,
(-3, 3)
Caso 2.
x+3 > 0 y x-3 < 0
si, y sólo si,
x>-3 y x<3
si, y sólo si,
-3 <x <3
si, y sólo si,
(-3, 3)
De manera que f ' (x) < 0 si, y sólo si, (-3, 3).
5. Esquema de monotonia:
+ - +
<---------- -3 <----------> 3 ------------->
crece decrece crece
6. Cóncava arriba: (0, +∞)
f '' (x) >0 si, y sólo si, 2x/3>0 si, y sólo si x >0
(0, +∞)
7. Cóncava abajo: (-∞, 0)
f '' (x) <0 si, y sólo si, 2x/3<0 si, y sólo si, x < 0.
(-∞, 0)
8. Esquema de concavidad:
- +
<-------------------------- 0 --------------------------->
cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba
9. Criterio de la segunda derivada:
f''(-3)=-2<0, por lo que -3 es maximante y f(-3) valor máximo.
f''(3)=2>0, por lo que 3 es minimante y f(3) valor mínimo.
10. La gráfica de f pasa por: (0, 10)
f(0)=10.
2)
3). Hacer la gráfica de f(x)=e^x/x: Animación del Prof. Javier Cayetano Rodriguez
4. Ejercicios para asesorías
Realiza sólo un ejercicio de las tres opciones siguientes:1. Hacer la gráfica de la siguiente función:
f(x)=x³/3+ x²/2-12x +2
2. Hacer la gráfica de la siguiente función:
f(x)= - x³ - x² + x + 1
3. Hacer la gráfica de la siguiente función:
g(x)= 5x³ - 5x² + 1
5. SAMPLE CLASS
0. CLASS RULES.Do not speak, do not eat, do not use mobile phone.
Evaluation: Attendance 25%, homework 25% final exam 50%
1.
2.
3.
4.
5.EXERCISE. Sketch the graph of the following polinomial function
f(x)= - x³ - x² + x + 1