5.2 Aplicaciones

1. Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1. Doña Hortensia, la señora de las quesadillas, esta buscando el mejor precio para sus quesadillas.

Lo que sí sabe Hortensia es lo siguiente:

A) El costo de producción de una quesadilla es de $12 pesos.

B) El precio actual por quesadilla es de $20 pesos.

C) A la semana vende 1200 quesadillas.

D) Por cada peso que disminuye al precio de una quesadilla, el número de quesadillas vendidas aumenta en 300.

Solución:

Supongamos que x denota el precio al publico de una sola quesadilla. Observemos que x es un valor entre 12 y 20. Ahora bien; 20-x denota el descuento por quesadilla, por lo que la cantidad de quesadillas que aumentan por semana es de 300(20-x). Puesto que la venta por semana es de 1200 quesadillas, entonces 1200 + 300(20-x) es el número total de quesadillas vendidas por semana. Por otra parte; x-12 es la ganancia por quesadilla vendida. 
Por lo tanto, la función que modela la ganancia de la venta de quesadillas a la semana es:


Haciendo las operaciones indicadas y simplificando, tenemos:


Ahora bien; busquemos los puntos críticos de la función v(x) en el intervalo cerrado [12, 20] .

I). Puntos frontera.

12 y 20.

II). Puntos estacionarios.

v(x)'=0, si y sólo si, -600x+10800=0, si y sólo si, x=18.

18.

III). Puntos singulares.

No hay.

Por lo tanto; los puntos críticos son:  12, 18, 20.

Finalmente, calculemos las imagenes de estos puntos críticos:

v(12)=0.

v(18)=10800.

v(20)=9600.

Como puede observarse, el valor extremo es de 10800 y se alcanza en x=18.

Por lo que $18 pesos es el mejor precio de venta, para las quesadillas de doña Hortensia.




Ejemplo 2.  Se inscribe un rectángulo en una circunferencia de radio 5. Hallar la base que maximiza el área.


Ejemplo 3

Ejemplo 4 .  e^π ≥ π^e

 

 

 

2. Ejercicios para asesorías.

OPCIÓN 1.

Una famosa tienda de helados, esta buscando el mejor precio para sus productos.

La heladeria sabe que:

1. El costo de producción de un helado es de $10 pesos.

2. El precio actual por un helado es de $70 pesos.

3. A la semana vende 5000 helados.

4. Por cada peso que disminuye al precio del helado, el número de helados vendidos aumenta en 400.

¿Cuál es el mejor precio para los helados?



OPCIÓN 2.

Don Chucho, el panadero, esta buscando el mejor precio para sus bolillos.

Lo que sí sabe Chucho es lo siguiente:

1. El costo de producción de un bolillo es de $.60 pesos.

2. El precio actual por bolillo es de $2 pesos.

3. A la semana vende 2500 bolillos.

4. Por cada $1 peso que disminuye al precio del bolillo, el número de bolillos vendidos aumenta en 500.

¿Cuál es el mejor precio para los bolillos de Don Chucho?