3.1 Velocidad. Ejemplo 1
1. Velocidad de auto
En este animación se observa como un auto tiene una velocidad constante y, de repende, choca. Por lo que no existe la velocidad en el tiempo 10, que es cuando choca. En esta animación se observa la gráfica distancia-tiempo, velocidad-tiempo de un auto que circula en una pista.2. Ejemplos
1. Supongamos que la distancia d, en el tiempo t, de un auto en la pista de carreras está modelado por la función:d(t)=t2 si t ≤ 2
d(t)=2t si t >2
a) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=1.d(t)=2t si t >2
b) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=2.
c) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=3.
Solución:
Gráfica de la función distancia-tiempo.
a) Para t suficientemente pequeño, con t+1<2, entonces:
v(1) =d'(1)=lím t->0 [d(t+1)-d(1)]/t
=lím t->0 [(t+1)2)-1] / t
=lím t->0 [t² + 2t + 1 - 1]/t
=lím t->0 t² + 2t/t
=lím t->0 t(t+2)/t
=lím t->0 (t+2)
=2
b) Calculemos los dos límites laterales:
I. Para t < 0, tenemos que 2+t < 2, entonces:
lím t->0- [d(2+t)-d(2)]/t
=lím t->0- [(2+t)²-4]/t
=lím t->0- [4+4t+t²-4]/t
=lím t->0- 4t+t²/t
=lím t->0- t(4+t)/t
=lím t->0- (4+t)
=lím t->0- 4
=4
II. Para t > 0, tenemos que 2+t > 2, entonces:
lím t->0+ [d(2+t)-d(2)]/t
=lím t->0+ [2(2+t) - 4]/t
=lím t->0+ [4+2t-4]/t
=lím t->0+ 2t/t
=lím t->0+ 2
=2
Gráfica de la función velocidad-tiempo.
Puesto que no coinciden los dos límites laterales, No tiene velocidad en t=2.
Observación: La función distancia d(t) es función continua en 2 pero no derivable en 2.
c) Para t suficientemente pequeño, con t+3>2, entonces:
v(3) =d'(3)=lím t->0 [d(t+3)-d(3)]/t
=lím t->0 [2(t+3))-6] / t
=lím t->0 [2t + 6 - 6]/t
=lím t->0 2t/t
=lím t->0 2
=2
2. Supongamos que la distancia d, en el tiempo t, de un auto en la pista de carreras está modelado por la función:
d(t)=2t si t ≤ 3
d(t)=6t-12 si t >3
a) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=1.d(t)=6t-12 si t >3
b) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=3.
c) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=4.
d) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=5.
Solución:
a) Para tiempo t suficientemente pequeño con 1+t < 3
v(1) =d'(1)=lím t->0 [d(1+t)-d(1)]/t
=lím t->0 [2(1+t)-2(1)]/t
=lím t->0 [2+2t-2]/t
=lím t->0 2t/t
=lím t->0 2
=2
b) Calculemos los dos límites laterales:
I. Para t < 0, 3+t < 3, por lo que:
lím t->0- [d(3+t)-d(3)]/t
=lím t->0- [2(3+t)-2(3)]/t
=lím t->0- [6+2t-6]/t
=lím t->0- 2t/t
=lím t->0- 2
=2
II. Para t > 0, 3+t >3, por lo que:
lím t->0+ [d(3+t)-d(3)]/t
=lím t->0+ [6(3+t)-12 - 2(3)]/t
=lím t->0+ [18+6t-12-6]/t
=lím t->0+ 6t/t
=lím t->0+ 6
=6
Puesto que no coinciden los dos límites laterales, no tiene velocidad en t=3.
c) Para tiempo t suficientemente pequeño con 3 < 4+t
v(4) =d'(4)=lím t->0 [d(4+t)-d(4)]/t
=lím t->0 ( 6(4+t)-12 -[6(4)-12])/t
=lím t->0 [24+6t-12-24+12]/t
=lím t->0 6t/t
=lím t->0 6
=6
d) Para tiempo t suficientemente pequeño con 3 < 5+t
v(5) =d'(5)=lím t->0 [d(5+t)-d(5)]/t
=lím t->0 (6(5+t)-12 -[6(5)-12])/t
=lím t->0 [30+6t-12-30+12]/t
=lím t->0 6t/t
=lím t->0 6
=6
3. Supongamos que la distancia d, en el tiempo t, de una motocicleta en la pista de carreras está modelado por la función:
d(t)=t² si t ≤ 1
d(t)=2t si t >1
a) Hallar la velocidad de la motocicleta en el tiempo t=0.5.d(t)=2t si t >1
b) Hallar la velocidad de la motocicleta en el tiempo t=1.
c) Hallar la velocidad de la motocicleta en el tiempo t=2.
Solución:
a) Para t suficientemente pequeño tal que, 0.5 + t < 1.
v(0.5)= lím t->0- [d(0.5+t)-d(0.5)]/t
=lím t->0- [(0.5+t)² - 0.25]/t
=lím t->0- [(0.25+t+t²)-0.25]/t
=lím t->0- t + t²/ t
=lím t->0- t(1+t)/t
=lím t->0- (1+t)
=1
b) Calculemos los dos límites laterales:
I. Para t < 0, 1+t <1, entonces:
lím t->0- [d(1+t)-d(1)]/t
=lím t->0- [(1+t)² - 1]/t
=lím t->0- [(1+2t+t²)-1]/t
=lím t->0- 2t + t²/ t
=lím t->0- t(2+t)/t
=lím t->0- (2+t)
=2
II. Para t > 0, 1+t > 1, entonces:
lím t->0+ [d(1+t)-d(1)]/t
=lím t->0+ [2(1+t) - 1]/t
=lím t->0+ [2+2t-1]/t
=lím t->0+ [1+2t]/t
=+∞
Puesto que no coinciden los dos límites laterales, no tiene velocidad en t=1.
c) Para t suficientemente pequeño tal que, 2 + t > 1.
v(2)= lím t->0- [d(2+t)-d(2)]/t
=lím t->0- [2(2+t) - 4]/t
=lím t->0- [4+2t-4]/t
=lím t->0- 2t / t
=lím t->0- 2
=2
3. Ejercicios para asesoría
1. Supongamos que la distancia d, en el tiempo t, de un auto en la pista de carreras está modelado por la función:d(t)=4t si t ≤ 2
d(t)=5t-2 si t >2
a) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=1.d(t)=5t-2 si t >2
b) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=2.
c) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=3.
d) Hallar la velocidad del auto en el tiempo t=4.
2. Supongamos que la distancia d, en el tiempo t, de una motocicleta en la pista de carreras está modelado por la función:
d(t)=3t² si t ≤ 1
d(t)=2t+1 si t >1
a) Hallar la velocidad de la motocicleta en el tiempo t=0.5.d(t)=2t+1 si t >1
b) Hallar la velocidad de la motocicleta en el tiempo t=1.
c) Hallar la velocidad de la motocicleta en el tiempo t=2.
