7.2 Sustitución

1. Sustitución (regla de cadena para integrales)

Teorema. Sean f(u) y g(x) funciones tal que f(g(x)) * g(x) ' es integrable, entonces


∫ f(g(x)) * g(x) ' dx = ∫ f(u) du

donde u=g(x)


Demostración:

El primer teorema fundamental del cálculo, asegura la existencia de la integral indefinida para f,  o bien, la antiderivada para f. 

Sea F la integral indefinida de f, esto es, ∫ f(u) du = F(u) + C, entonces

[F(u) + C] '= F(u) ' = F(g(x))'=F '(g(x))  * g(x)'= f (g(x)) * g(x) '.

Por lo que:

∫ f(g(x)) * g(x) ' dx = F(u) + C

es decir;

∫ f(g(x)) * g(x) ' dx = ∫ f(u) du

2. Ejemplos

1. Hallar la integral

∫ (x³+6x)⁴⁵ (3x² + 6) dx

Solución:

Sea u=x³+6x, du=3x² + 6 dx, entonces 

∫ (x³+6x)⁴⁵ (3x² + 6) dx = ∫ u⁴⁵ du

Puesto que:

∫ u⁴⁵ du= u⁴⁶ / 46 + C, entonces:

∫ (x³+6x)⁴⁵ (3x² + 6) dx = (x³+6x)⁴⁶ / 46 + C

2.


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9.

Esta integral se puede resolver, también, con la técnica de integración por partes.

3. Ejercicios para asesorías

Hallar las integrales siguientes:

A) ∫ (x⁴+5∙x)⁸⁵ (4∙x³ + 5) dx

B) ∫ (3∙√x+5∙x)⁴ ( 3 / [2 ∙ √x] + 5) dx

C) ∫ (2 ∙ Sen(√x) / √x ) dx

D) ∫ [(10t-1) ∙ Cos(√(5t²-t-1)) ] / √(5t²-t-1) dt

Ayuda para la D. Sustituir dos veces.