9.1 Teorema de cambio de variable

1. CAMBIO DE VARIABLE PARA INTEGRALES

Teorema: Sean las funciones g: [a,b] ---> B y f: B--->C, con g'(x) continua en [a,b] y f continua en B, entonces se cumple:          

∫^g(b)_g(a)  f(u) du =∫^b_a  f(g(x))g'(x) dx  

Demostración:


El primer teorema fundamental del cálculo asegura que existe una antiderivada de f,

digamos F.

Ahora bien; por el segundo teorema fundamental del cálculo tenemos que:



 ∫^g(b)_g(a)  f(u) du =F(g(b)) - F(g(a))                                                                            [1]


Por otra parte; F◦g es una antiderivada de f ◦ g * g'.

Por el segundo teorema fundamental del cálculo tenemos:


 ∫^b_a  f(g(x))g'(x) dx  = (F ◦ g)(x))|_a^b  =  (F ◦ g)(b) -  (F ◦ g)(a) =  F(g(b)) - F(g(a))       [2]


Por [1] y [2] se demuestra lo deseado.

Ejemplo1.



Ejemplo2. Hallar la siguiente integral.

∫^π/2₀  Sen⁵(x) Cos(x)dx

Solución:

Sea u=Sen(x), entonces  du=Cos(x)dx

Entonces:


∫^π/2₀  Sen⁵(x) Cos(x)dx =∫^Sen(π/2)_Sen(0)  u⁵ du =∫¹₀  u⁵ du = u⁶ / 6 | ¹ ₀  = 1 / 6


Por lo tanto;


∫^π/2₀  Sen⁵(x) Cos(x)dx =1/6

 Ejemplo3. Hallar la siguiente integral.

∫^e₁  ln(x) 1/x dx


Solución:

I) Sea u=ln(x), entonces  du=1/x dx


II) u(1)=ln(1)=0,  u(e)=ln(e)=1


Entonces:

∫^e₁  ln(x) 1/x dx = ∫¹₀  u  du = u²/2 |¹ ₀  = 1²/2 -  0² /2= 1/2


Por lo tanto;


∫^e₁  ln(x) 1/x dx = 1/2

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.



Ejemplo 6.

2. EJERCICIOS

 

Resolver las siguientes integrales por medio de cambio de variable


1. ∫^π/2₀  Cos⁴(x) Sen(x)dx

2. ∫^e₁  1 / [2 √Ln(x)] 1/x dx

3. ∫²₀  x (1+x²)^1/2 dx